【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,底面,M為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,且沿側(cè)棱展開三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開圖的對角線長為,求作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影H,請說明作法和理由,并求線段AH的長.
【答案】(1)證明見解析(2)作法見解析,理由見解析,
【解析】
(1)連結(jié),交于點(diǎn)O,連結(jié)OM,先證明,進(jìn)而得證;
(2)過作于H,通過證明平面,可得證;在中,由射影定理,有,可計(jì)算得AH.
(1)如圖,
連結(jié),交于點(diǎn)O,連結(jié)OM.
因?yàn)槿庵?/span>的側(cè)面是平行四邊形,所以O為中點(diǎn),
因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn),所以.
又因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)過作于H,
因?yàn)?/span>平面,平面,所以,
因?yàn)?/span>是正三角形,M為的中點(diǎn),
所以,又,平面,
所以平面,又平面,所以,
又因?yàn)?/span>,平面,
所以平面于H,
所以H為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影.
因?yàn)槿庵鶄?cè)面展開圖是矩形,
且對角線長為,側(cè)棱,
所以三棱柱底面周長為.
又因?yàn)槿庵牡酌媸钦切危?/span>
所以底面邊長,
在中,,
由射影定理,有,
即,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三1班共有48人,在“六選三”時(shí),該班共有三個(gè)課程組合:理化生、理化歷、史地政其中,選擇理化生的共有24人,選擇理化歷的共有16人,其余人選擇了史地政,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽出6人,調(diào)查他們每天完成作業(yè)的時(shí)間.
(1)應(yīng)從這三個(gè)組合中分別抽取多少人?
(2)若抽出的6人中有4人每天完成六科(含語數(shù)英)作業(yè)所需時(shí)間在3小時(shí)以上,2人在3小時(shí)以內(nèi).現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談.
用X表示抽取的3人中每天完成作業(yè)所需時(shí)間在3小時(shí)以上的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對任意的正數(shù)a,都存在實(shí)數(shù)t,滿足:對任意的,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲居住在城鎮(zhèn)的處,準(zhǔn)備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如:算作兩個(gè)路段:路段發(fā)生堵車事件的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).
(1)請你為甲選擇一條由到的最短路線
(即此人只選擇從西向東和從南向北的路線),
使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小;
(2)設(shè)甲在路線中遇到的堵車次數(shù)為隨機(jī)變量,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對任意的,恒成立?若不存在,請說明理由;若存在,求出的值并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號(hào)汽車的滿意情況,隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪,調(diào)查結(jié)果如下表:
汽車型號(hào) | I | II | III | IV | V |
回訪客戶(人數(shù)) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
滿意率 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
滿意率是指:某種型號(hào)汽車的回訪客戶中,滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.
假設(shè)客戶是否滿意互相獨(dú)立,且每種型號(hào)汽車客戶對于此型號(hào)汽車滿意的概率與表格中該型號(hào)汽車的滿意率相等.
(1)從所有的回訪客戶中隨機(jī)抽取1人,求這個(gè)客戶滿意的概率;
(2)從I型號(hào)和V型號(hào)汽車的所有客戶中各隨機(jī)抽取1人,設(shè)其中滿意的人數(shù)為,求的分布列和期望;
(3)用 “”, “”, “”, “”, “”分別表示I, II, III, IV, V型號(hào)汽車讓客戶滿意, “”, “”, “”, “”, “” 分別表示I, II, III, IV, V型號(hào)汽車讓客戶不滿意.寫出方差的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為,短軸長為,直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線與圓相切,證明:為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間,采用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名學(xué)生,對其平均每日參加體育鍛煉的時(shí)間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,按平均每日體育鍛煉時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)如下:
分組 | ||||||
男生人數(shù) | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人數(shù) | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若將平均每日參加體育鍛煉的時(shí)間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.
(1)將頻率視為概率,估計(jì)該校4000名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少?
(2)從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取5人參加某項(xiàng)體育活動(dòng).
①求男生和女生各抽取了多少人?
②若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為組長候選人,求抽取的2人中男女各1人的概率.
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