【題目】設(shè)函數(shù),.

1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;

3)求證:對任意的正數(shù)a,都存在實數(shù)t,滿足:對任意的,.

【答案】1)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為;(2;(3)見解析

【解析】

1)求解,利用,,解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間;

2,其中,再次構(gòu)造函數(shù)令,分析的零點情況,,令,列表分析得出單調(diào)性,判斷,分類討論求解①若,②若,③若的單調(diào)性,最大值,最小值,確定有無零點轉(zhuǎn)化為極值即可;

3)存在,恒成立,再運用導數(shù)判斷證明,令,,求解最大值,得出即可.

1)當時,,

,列表分析

x

1

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

2,,其中,

,分析的零點情況.

,令,,列表分析

x

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

,

,

①若,則,

內(nèi)沒有極值點,舍;

②若,則,

因此有兩個零點,設(shè)為,

所以當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,

時,單調(diào)遞增,此時內(nèi)有兩個極值點;

③若,則,,

,因此有一個零點,

內(nèi)有一個極值點;

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為.

3)存在,恒成立.

證明如下:

由(2)得上單調(diào)遞增,

,.

因為當時,*),所以.

上存在唯一的零點,設(shè)為.

x

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

,.

,而時,**),

所以.

,.

所以對任意的正數(shù)a,都存在實數(shù),使對任意的,使.

補充證明(*):

.,所以上單調(diào)遞增.

所以時,,即.

補充證明(**

,,所以上單調(diào)遞減.

所以時,,即.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;

(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于AB兩點,且,試求實數(shù)m的值.

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【題目】已知某中學高三文科班學生的數(shù)學與語文的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表:

數(shù)學(x

人數(shù)

語文(y

90~100

(數(shù)A

80~90

(數(shù)B

60~80

(數(shù)C

90~100

(語A

20

7

5

80~90

(語B

18

9

6

60~80

(語C

4

a

b

設(shè)xy分別表示數(shù)學成績與語文成績,若抽取學生n人,成績在90~100分者記為A等級(優(yōu)秀),成績在80~90分者記為B等級(良好),成績在60~80分者記為C等級(及格).例如:表中數(shù)學成績?yōu)?/span>A等級的共有.已知xy均為B等級的概率是0.09.

1)若在該樣本中,數(shù)學成績良好率是30%,求ab的值;

2)在語文成績?yōu)?/span>C等級的學生中,已知,,求數(shù)學成績?yōu)?/span>B等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)少的概率.

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