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(本小題滿分12分)
如圖,在三棱錐中,,,,,, 點,分別在棱上,且,

(Ⅰ)求證:平面PAC
(Ⅱ)當的中點時,求與平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在點使得二面角為直二面角?并說明理由.
(1)要證明線面垂直,一般可以通過線線垂直來證明,也可以通過面面垂直來證明,該試題的關鍵是證明AC⊥BC (2)
(3) 存在點E使得二面角是直二面角

試題分析:解:(法1)(Ⅰ)∵,,,∴PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形,
,∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
與平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,
這時,故存在點E使得二面角是直二面角.
(法2)如圖,以A為原煤點建立空間直角坐標系,設,
由已知可得,,,.
(Ⅰ)∵,,∴
∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,∴E為PC的中點,
,,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
,
,
與平面所成的角的大小。
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點E,
使得AE⊥PC,這時,
故存在點E使得二面角是直二面角.
點評:解決的關鍵是利用已知中的線線垂直來證明線面垂直,同時得到線面角的大小,結合三角形求解,同時要結合三垂線定理得到二面角的大小,屬于基礎題。
練習冊系列答案
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(Ⅰ)求證:平面;
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(2)求二面角B─AC─P的大小。

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(本小題12分)
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(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求點D到面ABC的距離。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題共12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,QAD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=

(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C為30°,設PM=tMC,試確定t的值.

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已知表示兩個互相垂直的平面,表示一對異面直線,則的一個充分條件是(  )
A.     B.
C.      D.

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