【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:的離心率為,右準線方程為.
求橢圓C的標準方程;
已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A,B兩點,且點A在第三象限內(nèi)為橢圓C的上頂點,記直線MA,MB的斜率分別為,.
若直線l經(jīng)過原點,且,求點A的坐標;
若直線l過點,試探究是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)①;②為定值1.
【解析】
(1)由已知列關于a,c的方程組,求解可得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓C的標準方程可求;
(2)①設A(x1,y1),M(0,1),由橢圓對稱性可知B(﹣x1,﹣y1),由點A(x1,y1)在橢圓上,得到,求出k1k2,結(jié)合k1﹣k2,可得k1=1,則直線MA的方程可求,再與橢圓方程聯(lián)立即可求得A的坐標;
②直線l過點(﹣2,﹣1),設其方程為y+1=k(x+2),與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系即可得到k1+k2是定值.
(1)因為橢圓的離心率為,右準線方程為,
所以,
解得.
又因為.
所以橢圓的標準方程為.
(2)設,,為橢圓的上頂點,則.
①因為直線經(jīng)過原點,由橢圓對稱性可知.
因為點在橢圓上,所以,即.
因為,.
所以.
所以,解得或.
因為點在第三象限內(nèi),所以,所以,則直線的方程為.
聯(lián)結(jié)方程組,解得或,所以.
(解出,,也可根據(jù),,求出點的坐標)
②直線過點,設其方程為.
聯(lián)列方程組,消去可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16k(k﹣1)=0.
當時,由韋達定理可知,.
又因為
.
所以為定值1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】水葫蘆原產(chǎn)于巴西,年作為觀賞植物引入中國. 現(xiàn)在南方一些水域水葫蘆已泛濫成災嚴重影響航道安全和水生動物生長. 某科研團隊在某水域放入一定量水葫蘆進行研究,發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快,經(jīng)過個月其覆蓋面積為,經(jīng)過個月其覆蓋面積為. 現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積(單位)與經(jīng)過時間個月的關系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.
(參考數(shù)據(jù): )
(Ⅰ)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;
(Ⅱ)求原先投放的水葫蘆的面積并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆面積是當初投放的倍.
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【題目】已知橢圓: 過點,且兩個焦點的坐標分別為, .
(1)求的方程;
(2)若, , 為上的三個不同的點, 為坐標原點,且,求證:四邊形的面積為定值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:.
若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求切線l的方程;
已知點為直線上一點,由點P向圓C引一條切線,切點為M,若,求點P的坐標.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在某次高中學科知識競賽中,對4000名考生的參賽成績進行統(tǒng)計,可得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中分組的區(qū)間為,,,,,,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值,則下列說法中正確的是( )
A.成績在的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000
C.考生競賽成績的平均分約為70D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分
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【題目】某車間有5名工人其中初級工2人,中級工2人,高級工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機抽取2名.
Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級工的概率;
Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率.
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【題目】已知是同一平面內(nèi)的三個向量,下列命題中正確的是( )
A.
B.若且,則
C.兩個非零向量,,若,則與共線且反向
D.已知,,且與的夾角為銳角,則實數(shù)的取值范圍是
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