如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排水管，在路南側(cè)沿直線排水管（假設(shè)水管與公路的南，北側(cè)在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路兩側(cè)排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設(shè)EF與AB所成角為．矩形區(qū)域內(nèi)的排管費用為W．

（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角．

（1）；（2），.

解析試題分析：（1）過E作，垂足為，然后將用，再根據(jù)題意列出W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，化簡即得；（2）設(shè)，，再對其求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)確定在的單調(diào)性，從而得到該函數(shù)的最大值以及取得最大值時相應(yīng)的角，代入中，即得到W的最小值.
試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為，由題意得，
故有，， ，
所以W=.
即 .  6分

（2）設(shè)，
則．
令得，即，得．
列表






+
0
-

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
所以當(dāng)時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應(yīng)的角．  13分
考點：1.三角函數(shù)；2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用單調(diào)性求最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題13分)己知函數(shù)。
（1）試探究函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若的圖象與軸交于兩點，中點為，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 求證：。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)b，使得方程在區(qū)間上恰有兩個相異實數(shù)根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點．當(dāng)時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(I)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的,函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù) 
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù). 
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時取得極值.
(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值
(II)證明對任意不等式恒成立.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案