Question

已知函數(shù)f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)，若函數(shù)y=f[f（x）]+1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程f[f（x）]=-1的解的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)，求解方程可得答案．

解答： 解：當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的圖象如下圖所示：

此時(shí)若函數(shù)y=f[f（x）]+1=0，則f[f（x）]=-1，
則f（x）=

1

e

，只有一解，不合題意，
當(dāng)0＜k＜

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的圖象如下圖所示：

此時(shí)若函數(shù)y=f[f（x）]+1=0，則f[f（x）]=-1，
則f（x）=

1

e

，或kf（x）+k=-1，只有三解，不合題意，
當(dāng)k≥

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的圖象如下圖所示：

此時(shí)若函數(shù)y=f[f（x）]+1=0，則f[f（x）]=-1，
則f（x）=

1

e

，或kf（x）+k=-1，有四解，滿足題意，
故滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

1

e

，+∞），
故答案為：[

1

e

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定，其中將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．