Question

設(shè)

e1

，

e2

是兩個(gè)不共線向量，已知

AB

=2

e1

+k

e2

，

CB

=

e1

+3

e2

，

CD

=2

e1

-

e2

．
（1）若A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若

e1

，

e2

為單位向量，

e1

，

e2

的夾角是

2

3

π，且

AB

⊥

CB

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題求解，利用共線向量定理的條件可以構(gòu)建k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）由

AB

⊥

CB

，可得

AB

•

CB

=0，結(jié)合

e1

，

e2

為單位向量，

e1

，

e2

的夾角是

2

3

π，可以構(gòu)建關(guān)于k的方程，解方程可以求出k．

解答： 解：（1）

BD

=

CD

-

CB

=（2

e1

-

e2

）-（

e1

+3

e2

）=

e

1-4

e

2，
由A，B，D三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量定理的條件可得：

AB

=λ

BD

，2

e1

+k

e2

=λ（

e

1-4

e

2），
解得：k=-8．
∴A，B，D三點(diǎn)共線時(shí)實(shí)數(shù)k的值為-8．
（2）∵

AB

⊥

CB

，∴

AB

•

CB

=0

AB

•

CB

=（2

e1

+k

e2

）•（

e1

+3

e2

，）
=2+3k+（k+6）

e

1•

e

2
=2+3k+（k+6）cos

2π

3

=

5

2

k-1=0
解得：k=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線的條件及向量數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用條件構(gòu)建方程，主要考查了方程思想．