Question

【題目】已知拋物線：，點(diǎn)是上的不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，上在點(diǎn)處的切線分別與軸軸交于點(diǎn)、．若存在常數(shù)滿足對(duì)任意的點(diǎn)都有．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）過點(diǎn)作的垂線與交于不同于的一點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，即得、坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)化簡(jiǎn)，最后根據(jù)等式恒成立得，的值；

（Ⅱ）先設(shè)，根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示得與橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得、，最后根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即得結(jié)果.

（Ⅰ）設(shè)，則，

，

即．

分別與軸軸交于點(diǎn)、

，．

，

∵存在常數(shù)滿足對(duì)任意的點(diǎn)都有∴．

（Ⅱ）設(shè)，

∵，，故，即

又，故的面積為

取，則．

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，的最小值是．

故面積的最小值是．