【題目】如圖,橢圓的右焦點為,過焦點,斜率為的直線交橢圓于、兩點(異于長軸端點),是直線上的動點.

1)若直線平分線段,求證:

2)若直線的斜率,直線、的斜率成等差數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)利用點差法可證得結(jié)論成立;

2)令,可得直線的方程為,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用直線、的斜率成等差數(shù)列,可得出關(guān)于的等式,然后利用函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.

1)設(shè),線段的中點,由題意可得,

上述兩式相減得,可得,

,則

因此,

2)由,令,則直線的方程為,

,恒成立,

由韋達(dá)定理得,

因為直線、的斜率成等差數(shù)列,

所以,

,

,即

,

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,所以,.

因此,實數(shù)的取值范圍是.

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