【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可作出函數(shù)的圖象，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（Ⅱ）先證明出，然后分和，分別證明出當(dāng)時(shí)，和當(dāng)時(shí)，，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，令，得.

列表如下：

極小值

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由于，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）由題意可知，方程必有解，又，即有解，

設(shè)，則.

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，且，，

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，方程有解，

下面證明當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.

先證，設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以，.

①當(dāng)時(shí)，若時(shí)，則，且函數(shù)連續(xù)，

當(dāng)時(shí)，，則，

此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，

又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，則.

此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知

（1）若a=1，且f(x)≥m在(0，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）已知函數(shù)的圖象與直線相交于，兩點(diǎn)（），證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法、干支是天干和地支的總稱，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥為地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、…癸對寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對戊、乙對亥、…接下來地支循環(huán)，丙對子、丁對丑、.，以此用來紀(jì)年，今年2020年是庚子年，那么中華人民共和國建國100周年即2049年是（ ）

A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：，點(diǎn)是上的不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，上在點(diǎn)處的切線分別與軸軸交于點(diǎn)、．若存在常數(shù)滿足對任意的點(diǎn)都有．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）過點(diǎn)作的垂線與交于不同于的一點(diǎn)，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的半徑為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是過橢圓中心的任意一條弦，直線是線段的垂直平分線，若是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為α的直線l過點(diǎn)P(2，0)．

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q與點(diǎn)G的極坐標(biāo)分別為，(2，π)，若直線l經(jīng)過點(diǎn)Q，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△GAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示：

表1：

1

2

3

4

5

6

7

6

11

21

34

66

101

196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）.

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.

（3）推廣期結(jié)束后，為更好的服務(wù)乘客，車隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了100人次的乘車支付方式，得到如下結(jié)果：

表2

支付方式

現(xiàn)金

乘車卡

掃碼

人次

10

60

30

已知該線路公交車票價(jià)2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)調(diào)査結(jié)果發(fā)現(xiàn)：使用掃碼支付的乘客中有5名乘客享受7折優(yōu)惠，有10名乘客享受8折優(yōu)惠，有15名乘客享受9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)該車隊(duì)一輛車一年的總收入.

參考數(shù)據(jù)：

62.14

1.54

2535

50.12

3.47

其中.

參考公式：

對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面組成的多面體.如將正四面體所有棱各三等分，沿三等分點(diǎn)從原幾何體割去四個(gè)小正四面體如圖所示，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，若這個(gè)半正多面體的棱長為2，則這個(gè)半正多面體的體積為______.

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