(本小題滿分12分)
已知:如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,,且中點.

(1)證明://平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求二面角的正弦值.
(1) 結(jié)于點,連結(jié),那么根據(jù)中位線性質(zhì)可知// ,那么結(jié)合線面平行的判定定理來得到。
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合空間向量的平面的法向量,借助于法向量的垂直來證明面面垂直。
(3)

試題分析:解:(1)

證明:連結(jié)于點,連結(jié)                 ……………………1分
中點,中點,
//                                           ……………………2分
平面平面,        ………3分
//平面.                       
(2)證明:
⊥平面        
平面,
.                          …………4分
在正方形, …5分
平面.                                 ……………………6分
平面,
∴平面平面.                            ……………………7分
(3)如圖,以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空
間直角坐標(biāo)系.

可知的坐標(biāo)分別為
(0, 0, 0), (2, 0, 0),(2, 2, 0),
(0, 2, 0), (0, 0, 2), (0, 1, 1) .………9分
平面,∴是平面的法向量,=(0, 0, 2).
設(shè)平面的法向量為
, ,
 即                       
∴ 
∴ 令,則.                            ………………11分
,           
二面角的正弦值為                      …………………12分
點評:解決證明試題,一般要運(yùn)用線面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,來分析得到,而對于求解二面角一般可以運(yùn)用定義法,或者是三垂線定理法,以及向量法來表示得到,屬于中檔題。
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