【題目】在平面直角坐標系xOy中,過點P(0,1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O:交于點A,B,與圓M:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1交于點C,D.
(1)若AB=,求CD的長;
(2)若CD中點為E,求△ABE面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)先由AB的長度求出圓心O到直線AB的距離,列方程求出直線AB的斜率,從而得到直線CD的斜率,寫出直線CD的方程,用垂徑定理求CD得長度;(2)△ABE的面積,先考慮直線AB、CD平行于坐標軸的情況,不平行時先由垂徑定理求出AB,再在△PME 中用勾股定理求出PE,將面積S表示成直線AB斜率k的函數(shù)式,再求其范圍.
解:(1)因為AB=,圓O半徑為2
所以點O到直線AB的距離為
顯然AB、CD都不平行于坐標軸
可設(shè)AB:,即
則點O到直線AB的距離,解得
因為AB⊥CD,所以
所以CD:,即
點M(2,1)到直線CD的距離
所以
(2)當AB⊥x軸,CD∥x軸時,此時AB=4,點E與點M重合,PM=2,所以△ABE的面積S=4
當AB∥x軸,CD⊥x軸時,顯然不存在,舍
當AB與CD都不平行于坐標軸時
由(1)知
因為,所以
因為點E是CD中點,所以ME⊥CD,
所以
所以△ABE的面積
記,則
則
綜上所述:
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們國家正處于老齡化社會中,老有所依也是政府的民生工程.某市有戶籍的人口共萬,其中老人(年齡歲及以上)人數(shù)約有萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機抽取人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級,并以歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計,樣本分布被制作成如下圖表:
(1)若從樣本中的不能自理的老人中采取分層抽樣的方法再抽取人進一步了解他們的生活狀況,則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)估算該市歲以上長者占全市戶籍人口的百分比;
(3)政府計劃為歲及以上長者或生活不能自理的老人每人購買元/年的醫(yī)療保險,為其余老人每人購買元/年的醫(yī)療保險,不可重復(fù)享受,試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的方程為,過點且斜率為的直線與曲線相切于點.
(1)以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,求曲線的極坐標方程和點的極坐標;
(2)若點在曲線上,求面積的最大值.
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【題目】有名學生排成一排,求分別滿足下列條件的排法種數(shù),要求列式并給出計算結(jié)果.
(1)甲不在兩端;
(2)甲、乙相鄰;
(3)甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰;
(4)甲不在排頭,乙不在排尾。
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【題目】(1)集合,或,對于任意,定義,對任意,定義,記為集合的元素個數(shù),求的值;
(2)在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,,,是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中,若存在,求出所有的,若不存在,說明理由;
(3)已知當時,有,根據(jù)此信息,若對任意,都有,求的值.
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【題目】為了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調(diào)查了100人,將這100人的年齡數(shù)據(jù)分成5組:,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)由頻率分布直方圖,計算出各年齡段的人數(shù),并估計這100人年齡的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù);(該小題不用寫解題過程,請在答題卷上直接寫出答案
(2)支持“延遲退休”的人數(shù)如下表所示,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,據(jù)此表,能否有95%的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政”的不支持態(tài)度存在差異?
附:,其中.
年齡 | |||||
支持“延遲退休”的人數(shù) | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】如圖,橢圓:的離心率為,設(shè),分別為橢圓的右頂點,下頂點,的面積為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知不經(jīng)過點的直線:交橢圓于,兩點,線段的中點為,若,求證:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直線與曲線相切也與曲線相切,則稱直線為曲線和曲線的公切線,已知函數(shù),其中,若曲線和曲線的公切線有兩條,則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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