【題目】已知函數(shù)fx)=(x1ex+ax2aR.

1)討論函數(shù)fx)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)fx)有兩個零點x1,x2x1x2),證明:x1+x20.

【答案】1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的取值進行分情況討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先判斷函數(shù)有兩個零點時的取值范圍為,再利用極值點偏移法,構(gòu)造函數(shù),,證明即可.

(1)f(x)=(x1)ex+ax2,

f′(x)=x(ex+2a),

①當a≥0,ex+2a>0,

故當x(∞,0),f'(x)<0,x(0,+∞),f'(x)>0,

所以函數(shù)f(x)(∞,0)上單調(diào)遞減,(0,+∞)上單調(diào)遞增;

②當a<0,f'(x)=x(ex+2a)=0,x=0,x=ln(2a),

i當﹣2a>1a,ln(2a)>0,

故當x(∞,0),(ln(2a),+∞),f'(x)>0,f(x)遞增,x(0,ln(2a)),f'(x)<0,f(x)遞減;

ii0<2a<1a<0,ln(2a)<0,

故當x(∞,ln(2a)),(0,+∞),f'(x)>0,f(x)遞增,x(ln(2a),0),f'(x)<0,f(x)遞減;

iii當﹣2a=1a,ln(2a)=0,f'(x)≥0,f(x)R上遞增;

(2)函數(shù)f'(x)=x(ex+2a),(1)可知:

①當a=0,函數(shù)f(x)=(x1)ex只有一個零點,不符合題意;

②當a<,f(x)的極大值為f(0)=1,f(x)極小值為,

故最多有一個零點,不成立;

③當a<0,f(x)的極大值為f(ln(2a)=[ln(2a)1]eln(2a)+aln2(2a)=a[ln2(2a)2ln(2a)+2]=a[(ln(2a)1)2+1]<0,

故最多有一個零點,不成立;

④當a,f(x)R上遞增,

故最多有一個零點不成立;

③當a>0,函數(shù)f(x)(∞,0)上單調(diào)遞減,(0,+∞)上單調(diào)遞增.

f(0)=1,f(1)=a>0,(0,1)存在一個零點x2,

因為x<0,所以x1<0,0<ex<1,所以ex(x1)>x1,

所以f(x)>ax2+x1,

x0,顯然x0<0f(x0)>0,

所以f(x0)f(0)<0,(x0,0)存在一個零點x1,

因此函數(shù)f(x)有兩個零點,x1<0<x2,

要證x1+x2<0,即證明x1<x2<0,

因為f(x)(∞,0)單調(diào)遞減,故只需f(x1)=f(x2)>f(x2)即可,

g(x)=f(x)f(x),x>0,

g'(x)=x(ex+2a)xex2ax=x(exex)>0,

所以g(x)上單調(diào)遞增,

g(0)=0,所以g(x)>0,

f(x1)=f(x2)>f(x2)成立,

x1+x2<0成立.

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