Question

【題目】已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)等于4的直線方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P作兩條相異的直線分別與圓C交于A，B，若直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線AB與OP的位置關(guān)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并證明.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）平行

【解析】

（1）設(shè)出圓的圓心為，半徑為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可得，解出即可得出圓的方程，討論過(guò)點(diǎn)P的直線斜率存在與否，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，分類討論兩直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率均存在時(shí)，則直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，分別與圓C聯(lián)立可得，利用斜率的計(jì)算公式與作比較即可.

（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)圓C的圓心為，半徑為，

則圓C，

由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，

則，解得，

故圓C的方程為：，所以點(diǎn)在圓上，

過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)等于4的直線，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為： ，滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，

直線方程為：，故，

解得，故直線方程為：.

綜上所述：所求直線的方程：或.

（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，且直線PA，PB的斜率均存在，

設(shè)兩直線的傾斜角為和，

，，因?yàn)?/span>，

由正切的性質(zhì)，則，

不妨設(shè)直線的斜率為，則PB的斜率為，

即：，則：，

由，得，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一定是該方程的解，故可得，

同理，，

，

,

直線AB與OP平行.