Question

【題目】設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝x|x－a|－a.

(1) 若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；

(2) 若對(duì)任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

(3) 當(dāng)a＞4時(shí)，求函數(shù)y＝f(f(x)＋a)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

解：(1) 若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)．令x＝0，得f(0)＝－f(0)，

即f(0)＝0，所以a＝0，此時(shí)f(x)＝x|x|為奇函數(shù)．

(2) 因?yàn)閷?duì)任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0.

當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意的x∈[2，3]，f(x)＝x－a≥0恒成立，所以a≤0；

當(dāng)a>0時(shí)，易得f(x)＝在上是單調(diào)增函數(shù)，在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)min＝f(2)＝2(2－a)－a≥0，解得a≤，所以a≤；

當(dāng)2≤a≤3時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a≥0，解得a≤0，所以a不存在；

當(dāng)a>3時(shí)，f(x)min＝min＝min≥0，解得a≥，

所以a≥.

綜上，得a≤或a≥.

(3) 設(shè)y＝f(f(x)＋a)，令t＝f(x)＋a＝x，則y＝f(t)＝t－a，a>4，

第一步，令f(t)＝0t＝a，

所以，當(dāng)t<a時(shí)，t2－at＋a＝0，

判別式Δ＝a(a－4)>0，

解得t1＝，t2＝；

當(dāng)t≥a時(shí)，由f(t)＝0，得t(t－a)＝a，

解得t3＝；

第二步，易得0<t1<<t2<a<t3，且a<，

① 若x＝t1，其中0<t1<，

當(dāng)x<a時(shí)，x2－ax＋t1＝0，記p(x)＝x2－ax＋t1，因?yàn)閷?duì)稱軸x＝<a，

p(a)＝t1>0，且Δ1＝a2－4t1>0，所以方程t2－at＋t1＝0有2個(gè)不同的實(shí)根；

當(dāng)x≥a時(shí)，x2－ax－t1＝0，記q(x)＝x2－ax－t1，因?yàn)閷?duì)稱軸x＝<a，

q(a)＝－t1<0，且Δ2＝a2＋4t1>0，所以方程x2－ax－t1＝0有1個(gè)實(shí)根，

從而方程x＝t1有3個(gè)不同的實(shí)根；

② 若x＝t2，其中0<t2<，由①知，方程x＝t2有3個(gè)不同的實(shí)根；

③ 若x＝t3，

當(dāng)x>a時(shí)，x2－ax－t3＝0，記r(x)＝x2－ax－t3，因?yàn)閷?duì)稱軸x＝<a，

r(a)＝－t3<0，且Δ3＝a2＋4t3>0，所以方程x2－ax－t3＝0有1個(gè)實(shí)根；

當(dāng)x≤a時(shí)，x2－ax＋t3＝0，記s(x)＝x2－ax－t3，因?yàn)閷?duì)稱軸x＝<a，

s(a)＝t3>0，且Δ3＝a2－4t3，a2－4t3>0a3－4a2－16<0，

記m(a)＝a3－4a2－16，則m′(a)＝a(3a－8)>0，

故m(a)為(4，＋∞)上的增函數(shù)，且m(4)＝－16<0，m(5)＝9>0，

所以m(a)＝0有唯一解，不妨記為a0，且a0∈(4，5)．

若4<a<a0，即Δ3<0，方程x2－ax＋t3＝0有0個(gè)實(shí)根；

若a＝a0，即Δ3＝0，方程x2－ax＋t3＝0有1個(gè)實(shí)根；

若a>a0，即Δ3>0，方程x2－ax＋t3＝0有2個(gè)實(shí)根．

所以，當(dāng)4<a<a0時(shí)，方程x＝t3有1個(gè)實(shí)根；

當(dāng)a＝a0時(shí)，方程x＝t3有2個(gè)實(shí)根；

當(dāng)a>a0時(shí)，方程x＝t3有3個(gè)實(shí)根．

綜上，當(dāng)4<a<a0時(shí)，函數(shù)y＝f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7；

當(dāng)a＝a0時(shí)，函數(shù)y＝f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8；

當(dāng)a>a0時(shí)，函數(shù)y＝f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.