Question

【題目】已知函數f（x）=eax﹣x． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當a≠1時，求證：存在實數x0使f（x0）＜1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f'（x）=aeax﹣1，

∵曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線與直線x+2y+3=0垂直，

∴切線l的斜率為2，

∴f'（0）=a﹣1=2，

∴a=3；

（Ⅱ）證明：當a≤0時，顯然有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在實數x0使f（x0）＜1；

當a＞0，a≠1時，由f'（x）=0可得 ，

∴在 時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在 上遞減；

時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在 上遞增．

∴ = 是f（x）的極小值．

設 ，則 ，令g'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	極大值	↘

∴當x≠1時g（x）＜g（1）=1，

∴ ，

綜上，若a≠1，存在實數x0使f（x0）＜1

【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，結合曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）當a≤0時，有f（1）＜ea﹣1≤0＜1，即存在實數x0使f（x0）＜1；當a＞0，a≠1時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，由單調性求出函數的極小值，再由導數求出極小值的最大值得答案．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．