【題目】如圖,三棱錐中,,是正三角形,且平面平面ABC,,E,G分別為AB,BC的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:平面ABD;

(Ⅱ)若F是線段DE的中點(diǎn),求AC與平面FGC所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由題可得,又可證平面ABD,從而可證平面ABD

(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解AC與平面FGC所成角的正弦值.

(Ⅰ)因?yàn)?/span>EG分別為AB,BC的中點(diǎn),所以

因?yàn)?/span>,平面平面ABC,

平面平面,

所以平面ABD,

所以平面ABD;

(Ⅱ)因?yàn)?/span>是正三角形,所以

又由(Ⅰ)知平面ABD,即EGAB,DE兩兩垂直,

則以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)?/span>

x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>是正三角形,

所以,

,,

因?yàn)?/span>FDE的中點(diǎn),所以

,

設(shè)平面FGC的一個(gè)法向量為

所以

,則,所以

設(shè)AC與平面FGC所成的角為

練習(xí)冊系列答案
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