已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,兩個焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn),點(diǎn)P,Q是橢圓上;異于點(diǎn)B的兩點(diǎn),且PB⊥QB,求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的半焦距為c,
則∵橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,離心率為
3
2
,
2a=12
c
a
=
3
2
,解得
a=6
c=3
3
,
∴b2=a2-c2=9.
∴所求橢圓C的方程為:
x2
36
+
y2
9
=1
.…(4分)
(Ⅱ)顯然直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b
聯(lián)立方程組
y=kx+b
x2
36
+
y2
9
=1
,消去y整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-
8kb
4k2+1
,x1x2=
4b2-36
4k2+1

∴y1+y2=k(x1+x2)+2b=
2b
4k2+1
,y1y2=
b2-36k2
4k2+1
…(8分)
∵PB⊥QB,且
BP
=(x1,y1-3),
BQ
=(x2,y2-3),
BP
BQ
=x1x2+(y1-3)(y2-3)=0,
4b2-36
4k2+1
+
b2-36k2
4k2+1
-3•
2b
4k2+1
+9=0
∴5b2-6b-27=0.
解得b=-
9
5
或b=3(舍去)
∴直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)(0,-
9
5
).…(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),拋物線y2=2
5
x
的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個焦點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,
3
)
,又知直線l:y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若
OA
OB
,求實(shí)數(shù)k值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A(x,y)到點(diǎn)F1(-1,0)與點(diǎn)F2(1,0)的距離之和為4.
(1)試求點(diǎn)A的軌跡M的方程;
(2)若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)P(1,
3
2
)
為軌跡M上一點(diǎn),記直線PC的斜率為k1,直線PD的斜率為k2,試問:k1+k2是否為定值?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q,且
AP
=
8
5
PQ

(1)求橢圓C的離心率;
(2)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x+
3
y+3=0相切,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知一條曲線C在y軸右側(cè),C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為D(2,-1),求直線l的一般式方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為F(0,
2
)
,且長軸長與短軸長的比為
2
:1

(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A,B.求證:直線AB的斜率為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),且橢圓C的離心率e=
1
2
,F(xiàn)1也是拋物線C1:y2=-4x的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn),且2
DF2
=
F2E
,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為G,求直線GD的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,N為圓C:(x+1)2+y2=16上的一動點(diǎn),點(diǎn)D(1,0),點(diǎn)M是DN的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段CN上,且
MP
DN
=0

(Ⅰ)求動點(diǎn)P表示的曲線E的方程;
(Ⅱ)若曲線E與x軸的交點(diǎn)為A,B,當(dāng)動點(diǎn)P與A,B不重合時,設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1,k2,證明:k1•k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
1
2
,一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,
3
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)且
AM
AN
=0
,試問:是否存在實(shí)數(shù)λ,使得S△FMN=λS△AMN成立,若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案