已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，
2
)，且長軸長與短軸長的比為
2
：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B．求證：直線AB的斜率為定值．
（1）由已知可設橢圓C的方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)
依題意：
a
b
=
2
且a2=b2+2解得：a2=4b2=2
故橢圓C的方程為：
y2
4
+
x2
2
=1…（4分）
（2）證明：由（1）知：P（1，
2
）
由已知設PA：y-
2
=k(x-1)，即：y=kx-(k-
2
)
PB：y-
2
=-k(x-1)，即：y=-kx+(k+
2
)…（6分）
由
y=kx-(k-
2
)
2x2+y2=4
得：(k2+2)x2-2k(k-
2
)+k2-2
2
k-2=0
設A（x1，y1）B（x2，y2）則：x1+1=
2k2-2
2
k
k2+2

故：x1=
k2-2
2
k-2
k2+2
同理：x2=
k2+2
2
k-2
k2+2
…（10分）
直線AB的斜率kAB=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+x2)-2k
x1-x2
=
k
2k2-4
k2+2
-2k
-4
2
k
k2+2
=
-8k
-4
2
k
=
2

所以：直線AB的斜率為定值．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x2=4y相切于點A．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若過拋物線的焦點且平行于直線l的直線l1交拋物線于B，C兩點，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點，A，B是過焦點F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點到直線2x+y+4=0的最短距離是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓C上一點到F1和F2的距離之和為12．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓上；異于點B的兩點，且PB⊥QB，求證直線PQ經過y軸上一定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對稱圖形，且兩坐標軸都是對稱軸；
②焦點在x軸上且焦點到坐標原點的距離為1；
③曲線與坐標軸的交點不是兩個；
④曲線過點A（1，
3
2
）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點F是改圓錐曲線的焦點，點F′是F關于坐標原點O的對稱點，點P為曲線上的動點，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知k∈R，當k的取值變化時，關于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線形成了一個直線系，記集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2僅有唯一直線}．
（1）求M中點（x，y）的軌跡方程；
（2）設P={（x，y）|y=2x+a，a為常數(shù)}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值為
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；
（2）過點F的直線交拋物線C1于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1，F(xiàn)是右焦點，若直線L過F與橢圓相交于A，B兩點，且
AF
=2
FB
，則直線L的方程為：______．

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