設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．
（1）設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知
FA
=(c，b)，
AQ
=(x0，-b)
∵
FA
⊥
AQ
，∴cx0-b2=0，x0=
b2
c

設(shè)P（x1，y1），
由
AP
=
8
5
PQ
得x1=
8b2
13c
，y1=
5
13
b
因為點P在橢圓上，所以
(
8b2
13c
)2
a2
+
(
5
13
b)2
b2
=1
整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故橢圓的離心率e=
1
2
．

（2）由（1）知2b2=3ac，得
b2
c
=
3
2
a，由
c
a
=
1
2
，得c=
1
2
a
于是F（-
1
2
a，0）Q(
3
2
a，0)，
△AQF的外接圓圓心為（
1
2
a，0），半徑r=
1
2
|FQ|=a
所以
|
1
2
a+3|
2
=a，解得a=2，
∴c=1，b=
3
，
所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個點中的三個點：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點A為橢圓M的左頂點，B，C為橢圓M上不同于點A的兩點，若原點在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點，A，B是過焦點F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
AF1
•
F1B
=1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點到直線2x+y+4=0的最短距離是（　�。�
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓C上一點到F1和F2的距離之和為12．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點B是橢圓C的上頂點，點P，Q是橢圓上；異于點B的兩點，且PB⊥QB，求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知k∈R，當(dāng)k的取值變化時，關(guān)于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直線有無數(shù)條，這無數(shù)條直線形成了一個直線系，記集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2僅有唯一直線}．
（1）求M中點（x，y）的軌跡方程；
（2）設(shè)P={（x，y）|y=2x+a，a為常數(shù)}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值為
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案