已知直角坐標平面內(nèi)點A(x,y)到點F1(-1,0)與點F2(1,0)的距離之和為4.
(1)試求點A的軌跡M的方程;
(2)若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點,點P(1,
3
2
)
為軌跡M上一點,記直線PC的斜率為k1,直線PD的斜率為k2,試問:k1+k2是否為定值?請證明你的結論.
(1)由題知|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2,則|AF1|+|AF2|>|F1F2|
由橢圓的定義知點A軌跡M是橢圓,其中a=2,c=1.
因為b2=a2-c2=3,
所以,軌跡M的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;
(2)設直線l的方程為:y=
1
2
x+b
,C(x1,y1),D(x2,y2
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程,消去y可得:3x2+4(
1
2
x+b)2=12
,
化簡得:x2+bx+b2-3=0
當△>0時,即,b2-4(b2-3)>0,也即|b|<2時,直線l'與橢圓有兩交點,
由韋達定理得:
x1+x2=-b
x1x2=b2-3
,
所以,k1=
y1-
3
2
x1-1
=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
,k2=
y2-
3
2
x2-1
=
1
2
x2+b-
3
2
x2-1

則k1+k2=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
+
1
2
x2+b-
3
2
x2-1
=
x1x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=
b2-3+(b-2)(-b)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=0

所以,k1+k2為定值.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C:
x2
m+2
+
y2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;
(Ⅱ)設m=2,過點D(0,4)的直線l與曲線C交于M,N兩點,O為坐標原點,若∠OMN為直角,求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知△ABC的頂點A(0,-1),B(0,1),直線AC,直線BC的斜率之積等于m(m0),求頂點C的軌跡方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線.
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2與原點為圓心,以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點M(0,2)的直線l1與橢圓C交于G,H兩點.設直線l1的斜率k>0,在x軸上是否存在點P(m,0),使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形.如果存在,求出實數(shù)m的取值范圍,如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
3
2
,短軸長為2,點A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上的兩點,
m
=(
x1
b
,
y1
a
)
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,且
m
n
=0

(1)求橢圓方程;
(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求直線AB的斜率;
(3)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知F1,F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1
上的兩個焦點,A,B是過焦點F1的一條動弦,則△ABF2的面積的最大值為( 。
A.
2
2
B.
2
C.1D.2
2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖.已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸為AB,過點B的直線l與x軸垂直,橢圓的離心率e=
3
2
,F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
AF1
F1B
=1.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設P是橢圓上異于A、B的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,延長HP到點Q使得HP=PQ.連接AQ并延長交直線l于點M,N為MB的中點,判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓C上一點到F1和F2的距離之和為12.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點B是橢圓C的上頂點,點P,Q是橢圓上;異于點B的兩點,且PB⊥QB,求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個頂點A的坐標是(0,-1),且右焦點Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3.
(1)求橢圓方程;
(2)試問是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使l與橢圓M有兩個不同的交點B、C,且|AB|=|AC|?若存在,求出k的范圍,若不存在,說明理由.

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