Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}中，a1=﹣2，公差d=3；數(shù)列{bn}中，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足：2nSn+1=2n（n∈N+）
（Ⅰ）記An= ，求數(shù)列An的前n項(xiàng)和S；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=anbn ， Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積，若數(shù)列{xn}滿足x1=c2﹣c1 ， 且xn= ，求數(shù)列{xn}的最大值．

Answer 1

【答案】（I）解：∵等差數(shù)列{an}中，a1=﹣2，公差d=3，
∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．
∴An= = = ，
∴數(shù)列An的前n項(xiàng)和S= + +…+
=
=﹣ ．
（II）證明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得 ．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1= ；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1= = ．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴ = ．
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為 ．
（III）數(shù)列{cn}滿足cn=anbn= ．
數(shù)列{xn}滿足x1=c2﹣c1= = ．
當(dāng)n≥2時(shí)，xn= = =cn+1﹣cn= = ．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
當(dāng)n≤3時(shí)，數(shù)列{xn}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，但是xn＜0．
∴數(shù)列{xn}的最大值是
【解析】（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=3n﹣5．利用裂項(xiàng)可得An= ，利用“裂項(xiàng)求和”可得數(shù)列An的前n項(xiàng)和S．（II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得 ．當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1= ；當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1 ． 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明．（III）數(shù)列{cn}滿足cn=anbn= ．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1=c2﹣c1= ．當(dāng)n≥2時(shí)，xn= =cn+1﹣cn= ．當(dāng)n≤3時(shí)，數(shù)列{xn}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，但是xn＜0，即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識，掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷，以及對數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．