【題目】如圖,在三棱錐中,底面,,.D,E分別為,的中點,過的平面與,相交于點M,N(M與P,B不重合,N與P,C不重合).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的大小;
(3)若直線與直線所成角的余弦值時,求的長.
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】
(1)為的中位線,從而得到,然后根據線面平行的判定定理及性質定理即可得到,從而,即;
(2)過B作,容易說明,,三條直線互相垂直,從而以B為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,這樣即可求得,,的坐標.從而可求出平面的一個法向量坐標,設直線與平面所成角為,根據即可求出;
(3)根據圖形設,由M點在棱上,便可得到,從而表示M為,根據直線與直線所成角的余弦值,設直線與直線所成角為,從而通過即可求出,從而求出M點坐標,由兩點間距離公式即可求出.
(1)證明:∵D,E分別為,的中點;
∴,平面,平面;
∴平面,平面平面;
∴;
∴;
(2)如圖,在平面內作,則根據:
底面,及即知,,,兩兩垂直;
∴以B為坐標原點,,,所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則:
,,,;
∴,,,;
設平面的法向量為;
則由得:
,令,得,;
∴;
設直線和平面所成角為,則:
;
又;
∴;
即直線和平面所成角為;
(3)設,M在棱上,則:,();
∴;
∴,;
∴,;
因為直線與直線所成角的余弦值;
設直線和直線所成角為;
所以;
∴;
解得,或(舍去);
∴;
∴.
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【題目】設為數列的前n項和, 且滿足為常數.
(1)若,求的值;
(2)是否存在實數 ,使得數列為等差數列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3)當時,若數列滿足,且,令,求數列的前n項和.
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【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,且經過點,它的一個焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率為的直線過點,且與拋物線交于兩點,設點,的面積為,求的值;
(3)若直線過點,且與橢圓交于兩點,點關于軸的對稱點為,直線的縱截距為,證明:為定值.
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【題目】已知等差數列的首項為p,公差為,對于不同的自然數,直線與軸和指數函數的圖象分別交于點與(如圖所示),記的坐標為,直角梯形、的面積分別為和,一般地記直角梯形的面積為.
(1)求證:數列是公比絕對值小于1的等比數列;
(2)設的公差,是否存在這樣的正整數,構成以,,為邊長的三角形?并請說明理由;
(3)設的公差為已知常數,是否存在這樣的實數p使得(1)中無窮等比數列各項的和?并請說明理由.
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【題目】設等差數列的前項和為,在同一個坐標系中,及的部分圖象如圖所示,則( ).
A. 當時,取得最大值 B. 當時,取得最大值
C. 當時,取得最小值 D. 當時,取得最小值
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【題目】空氣質量指數PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴重:
日均濃度 | ||||||
空氣質量級別 | 一級 | 二級 | 三級 | 四級 | 五級 | 六級 |
空氣質量類型 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行監(jiān)測,獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示:
(Ⅰ)根據你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好?(注:不需說明理由)
(Ⅱ)在15天內任取1天,估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率;
(Ⅲ)在乙城市15個監(jiān)測數據中任取2個,設X為空氣質量類別為優(yōu)或良的天數,求X的分布列及數學期望.
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【題目】某地區(qū)甲、乙、丙三所單位進行招聘,其中甲單位招聘2名,乙單位招聘2名,丙單位招聘1名,并且甲單位要至少招聘一名男生,現有3男3女參加三所單位的招聘,則不同的錄取方案種數為( )
A.36B.72C.108D.144
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【題目】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志是“連續(xù)10日,每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下:
甲地:總體平均數為3,中位數為4;
乙地:總體平均數為1,總體方差大于0;
丙地:總體平均數為2,總體方差為3;
丁地:中位數為2,眾數為3;
則甲、乙、兩、丁四地中,一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是( )
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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