【題目】已知等差數(shù)列的首項為p,公差為,對于不同的自然數(shù),直線軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點(如圖所示),記的坐標為,直角梯形的面積分別為,一般地記直角梯形的面積為.

1)求證:數(shù)列是公比絕對值小于1的等比數(shù)列;

2)設的公差,是否存在這樣的正整數(shù),構成以,為邊長的三角形?并請說明理由;

3)設的公差為已知常數(shù),是否存在這樣的實數(shù)p使得(1)中無窮等比數(shù)列各項的和?并請說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)不存在,詳見解析(3)存在,證明見解析

【解析】

1,直角梯形的兩底長度,.高為,利用梯形面積公式表示出.利用等比數(shù)列定義進行證明即可;

2,以,為邊長能構成一個三角形,則考查不等式解的情況作解答;

3)利用無窮等比數(shù)列求和公式,將化簡為,則,探討p的存在性.

解:(1,,

,

對于任意自然數(shù)n,,

所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比,

因為,所以;

2,

對每個正整數(shù),

若以,,為邊長能構成一個三角形,

,即,

即有,這是不可能的.

所以對每一個正整數(shù),以,,為邊長不能構成三角形;

3)由(1)知,,

所以,

,則

兩邊取對數(shù),知只要取值為小于的實數(shù),

就有.

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【題目】關于函數(shù)有下述四個結論:①若,則;②的圖象關于點對稱;③函數(shù)上單調遞增;④的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱.其中所有正確結論的編號是( )

A.①②④B.①②C.③④D.②④

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1)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當時,,求的值;

2)已知函數(shù)為二階縮放函數(shù),且當時,,求證:函數(shù)上無零點;

3)已知函數(shù)階縮放函數(shù),且當時, 的取值范圍是,求上的取值范圍.

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2)對于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點為M,交橢圓所得弦的中點為N,求證:為與無關的定值;

3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點為橢圓上的任意一點(點與點不重合),求面積的最大值.

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【題目】如圖,在三棱錐中,底面,,.D,E分別為,的中點,過的平面與,相交于點M,N(MP,B不重合,NP,C不重合).

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的大小;

(3)若直線與直線所成角的余弦值時,求的長.

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1)求出a的值;

2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查,設第2組抽到人,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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