Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和, 且滿(mǎn)足為常數(shù).

（1）若，求的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù) ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，若數(shù)列滿(mǎn)足，且，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）不存在，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

(1)分別代入求解得再利用求解參數(shù)即可.

(2) 假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則進(jìn)而分析取值再判斷即可.

(3)利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求得的遞推公式,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式,再分析利用裂項(xiàng)求和即可.

（1）由得,（即）,

,

故

于是由得 解得或；

(2) 假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則

于是由（1）可得

即,矛盾, 所以,不存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

(3) 當(dāng),且,

所以即,

故數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, 即,

因,且,故

當(dāng)時(shí),上式仍然成立.所以

于是

故

.