Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前n項和, 且滿足為常數(shù).

（1）若，求的值；

（2）是否存在實數(shù) ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）當時，若數(shù)列滿足，且，令，求數(shù)列的前n項和.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）不存在，理由見解析；（3）.

【解析】

(1)分別代入求解得再利用求解參數(shù)即可.

(2) 假設(shè)存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則進而分析取值再判斷即可.

(3)利用通項與前n項和的關(guān)系求得的遞推公式,進而求得通項公式,再分析利用裂項求和即可.

（1）由得,（即）,

,

故

于是由得 解得或；

(2) 假設(shè)存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則

于是由（1）可得

即,矛盾, 所以,不存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

(3) 當,且,

所以即,

故數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列, 即,

因,且,故

當時,上式仍然成立.所以

于是

故

.