Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x-1，g（x）=x²e^ax．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當a=1時，對于在（0，1）中的任一個常數(shù)m，是否存在正數(shù)x₀使得f（x₀）＞

m

2

g（x）成立？如果存在，求出符合條件的一個x₀；否則請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求得最值；
（Ⅱ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求出單調區(qū)間；
（Ⅲ）f（x₀）＞

m

2

g（x）?ex0-x₀-1＞

m

2

•

x

2 0

ex0a•變形為

m

2

x

2 0

+

x0+1

ex0

-1＜0①要找一個X₀＞0，使①式成立，只需找到函數(shù)t（x）=

m

2

x²+

x+1

ex

-1的最小值，滿足t（x）min＜0即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即得結論．

解答： 解：f（x）定義域為R，f′（x）=e^x-1，
且在（-∞，0）上f′（x）＜0，在（0，+∞）上f′（x）＞0，
f（x）_min=f（0）=0
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的導數(shù)：
f′（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x+ax²）e^ax
（i）當a=0時，若x＜0，則f′（x）＜0，若x＞0，則f′（x）＞0，
所以當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)；
（ii）當a＞0時，由2x+ax²＞0，解得x＜-

2

a

或x＞0
由由2x+ax²＜0，解得-

2

a

＜x＜0，
所以，當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

）內為增函數(shù)，在區(qū)間（-

2

a

，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)；
（iii）當a＜0時，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-

2

a

，由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-

2

a

所以當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-

2

a

）內為增函數(shù)，
在區(qū)間（-

2

a

，+∞）內為減函數(shù)．
（Ⅲ）f（x₀）＞

m

2

g（x）?ex0-x₀-1＞

m

2

•

x

2 0

ex0a•變形為

m

2

x

2 0

+

x0+1

ex0

-1＜0①
要找一個X₀＞0，使①式成立，只需找到函數(shù)t（x）=

m

2

x²+

x+1

ex

-1的最小值，
滿足t（x）min＜0即可，對t（x）求導數(shù)t′（x）=x（m-

1

ex

），
令t'（x）=0得ex=

1

m

，則x=-lnm，取X₀=-lnm
在0＜x＜-lnm時，t'（x）＜0，在x＞-lnm時，t'（x）＞0，故t（x）在x=-lnm時，取得最小值t（-lnm）=

m

2

（lnm）²-mlnm+m+1
下面只需證明：

m

2

（lnm）²-mlnm+m+1＜0，在0＜m＜1時成立即可．
又令p（m）=

m

2

（lnm）²-mlnm+m+1（0＜m＜1），對p（m）關于m求導數(shù)
則p′（m）=

1

2

（lnm）²≥0，從而p（m）在（0，1）為增函數(shù)
則p（m）＜p（1）=0，從而

m

2

（lnm）²-mlnm+m+1＜0得證
于是t（x）的最小值t（-lnm）＜0
因此可找到一個常數(shù)x₀=-lnm（0＜m＜1），使得f（x₀）＞

m

2

g（x）成立．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值等知識，考查轉化劃歸思想及分類討論思想的運用能力，綜合性強，屬難題．