Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，f（x）的最大值為-4．求x∈（0，2）時(shí)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），設(shè)x∈（-4，-2）時(shí)，則x+4∈（0，2），代入x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根據(jù)當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，f（x）的最大值為-4，利用導(dǎo)數(shù)求得它的最大值，解方程即可求得a的值，進(jìn)而求得結(jié)論；

解答： 解：由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
∵x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx+ax（a＜-

1

2

），設(shè)x∈（-4，-2）時(shí)，則x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）時(shí)，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
f′(x)=

4

x+4

+4a=4a•

x+4+ 1 a

x+4

，
∵a＜-

1

2

，
∴-4＜-

1

a

-4＜-2
∴當(dāng)x∈(-4，-

1

a

-4)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈(-

1

a

-4，2)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=-

1

a

-4時(shí)，f（x）有最大值4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)
4ln(-

1

a

)+a(-

1

a

)=-4，
解得a=-1
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx-x

點(diǎn)評：此題是個難題．考查函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．