Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=

1

2

，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N^*．
（Ⅰ）令b_n=a_2n-1，判斷{b_n}是否為等差數列，并求出b_n；
（Ⅱ）記{a_n}的前2n項的和為T_2n，求T_2n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的定義證明{b_n}是等差數列；
（2）利用分組求和法求數列{a_n}的前2n項的和為T_2n．

解答： 解：（Ⅰ）∵[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0，
∴[3+(-1)2n-1]a2n+1-2a2n-1+2[(-1)2n-1-1]=0，
即a_2n+1-a_2n-1=2…（4分）∵b_n=a_2n-1，∴b_n+1-b_n=a_2n+1-a_2n-1=2
∴{b_n}是以b₁=a₁=1為首項，以2為公差的等差數列 …（5分）
b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（6分）
（Ⅱ）對于[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0，
當n為偶數時，可得（3+1）a_n+2-2a_n+2（1-1）=0，即

an+2

an

=

1

2

，
∴a₂，a₄，a₆，…是以a2=

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列；…（8分）
當n為奇數時，可得（3-1）a_n+2-2a_n+2（-1-1）=0，即a_n+2-a_n=2，
∴a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1為首項，以2為公差的等差數列…（10分）
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=[n×1+

1

2

n(n-1)×2]+

1 2 [(1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=n2+1-

1

2n

…（12分）

點評：本題主要考查等差數列的定義及數列的分組求和法，注意分類討論，屬難題．