【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若的圖象與的圖象有，兩個不同的交點，證明：.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的表達式并求導(dǎo)，分類討論的單調(diào)性；（2）由題意可得有兩個不同的根，則①，②， 消去參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性并利用放縮法推出，再次構(gòu)造函數(shù)，通過證明來證明.

（1），定義域為，

.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

（2），

因為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點，

所以關(guān)于的方程，即有兩個不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，不妨設(shè)，記.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

則，即，所以.

因為

所以，即.

令，則在上單調(diào)遞增.

又，所以，

即，所以.

兩邊同時取對數(shù)可得，得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上(如圖1)，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′(如圖2).

（1）求證：A′D⊥EF；

（2）BFBC時，求點A′到平面DEF的距離.

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【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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【題目】2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情.面對“突發(fā)災(zāi)難”，舉國上下心，繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔(dān)“逆行者”的后顧之憂，某大學(xué)學(xué)生志愿者團隊開展“愛心輔學(xué)”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)隨機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物4門學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)1門學(xué)科，每門學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo)，則數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（ ）

A.是的一個“完美區(qū)間”

B.是的一個“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.

（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)；

生二孩

不生二孩

合計

頭胎為女孩

60

頭胎為男孩

合計

200

（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

0.15

0.05

0.01

0.001

2.072

3.841

6.635

10.828

（其中）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓：的左、右焦點分別為，軸，直線交軸于點，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點作兩條直線與橢圓分別交于且使軸，如圖，問四邊形的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（ ）

A.3B.4C.5D.6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，離心率為，為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)，，為橢圓上的三點，與交于點，且，當(dāng)的中點恰為點時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

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