Question

【題目】已知橢圓過點，離心率為，為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設，，為橢圓上的三點，與交于點，且，當的中點恰為點時，判斷的面積是否為常數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為常數，見解析.

【解析】

（1）根據點在橢圓上和離心率，得出的等量關系，解方程求橢圓標準方程；

（2）設，，聯立直線與橢圓方程，消去，利用韋達定理可求出的底和高，將面積表示出來，可得面積是常數.

（1）由已知易得，，

∴，故橢圓的標準方程為：.

（2）①若點是橢圓的右頂點（左頂點一樣），

則，∵，在線段上，

∴，

此時軸，求得，

∴的面積等于.

②若點不是橢圓的左、右頂點，

則設直線的方程為，，，

由

得，

則，，

∴的中點的坐標為，

∴點的坐標為，

將其代入橢圓方程，化簡得.

∴.

∵點到直線的距離，

∴的面積.

綜上可知，的面積為常數.