已知函數(shù)，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，求函數(shù)的最大值的表達式．

（1）增函數(shù)；（2）參考解析

解析試題分析：（1）當時，，.通過函數(shù)的單調(diào)性的定義可證得函數(shù)，單調(diào)遞增.
（2）由，所以將x的區(qū)間分為兩類即和.所以函數(shù).由（1）可得函數(shù)是遞增函數(shù).應用單調(diào)性的定義同樣可得函數(shù)是遞增.根據(jù)反函數(shù)的定義可得函數(shù)存在反函數(shù).
試題解析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).
證明：當時，，
在上是增函數(shù).2分
在區(qū)間上任取，設，

所以，即在上是增函數(shù).6分
(2)因為，所以8分
當時，在上是增函數(shù)，9分
證明：當時，在上是增函數(shù)（過程略）11分
在在上也是增函數(shù)
當時，在上是增函數(shù)12分
證明：當時，在上是增函數(shù)（過程略）13分
所以當時，取得最大值為；14分
考點：1.函數(shù)的單調(diào)性.2.函數(shù)單調(diào)性的定義.3.函數(shù)的最值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(2，0)，求a、b的值；
(2)設函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率為k，試求的充要條件；
(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于l，求證．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）若方程內(nèi)有兩個不等的實根，求實數(shù)m的取值范圍；（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點、且.求證：（其中正常數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

己知a∈R，函數(shù)
(1)若a=1，求曲線在點(2，f (2))處的切線方程；
(2)若|a|>1，求在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）當時，求的最小值；
（2）若，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（）.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性;
（2）設函數(shù)，，當函數(shù)有零點時，求實數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（）
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點；
（2）當時，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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