Question

【題目】已知，設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；

（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（3）對(duì)任意恒成立時(shí)， 的最大值為1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn);（2）見解析;（3）.

【解析】【試題分析】（１）先求導(dǎo)數(shù)，再解方程求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；（２）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析探求；（３）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解：

（1）當(dāng)時(shí)， ，∴，令，則，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以是的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).

（2），

①當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

④當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）∵， 。由得

對(duì)任意恒成立，即

對(duì)任意恒成立.

令， ，根據(jù)題意，可以知道的最大值為1，則 恒成立.

由于，則.

當(dāng)時(shí)， ，令，則，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，∴在上單調(diào)遞增.

從而，滿足條件，故的取值范圍是.