【題目】(本小題滿分13分)
已知橢圓的短軸長為,且與拋物線有共同的焦點(diǎn),橢圓的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn),直線,與直線分別交于兩點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求線段的長度的最小值;
(Ⅲ)在線段的長度取得最小值時,橢圓上是否存在一點(diǎn),使得的面積為,若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)8(3)或
【解析】(I)由已知得,拋物線的焦點(diǎn)為,則,又.
由,可得.
故橢圓的方程為.…………………………………………4分
(Ⅱ)直線的斜率顯然存在,且,故可設(shè)直線的方程為,從而.
由得.………………………………6分
設(shè),則 . 所以,從而.
即又,
則直線的斜率為.
由 得
所以.
故.
又, .
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.
所以當(dāng)時,線段的長度取最小值.…………………………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)的長度取最小值時,.
則直線的方程為,此時,.
若橢圓上存在點(diǎn),使得的面積等于,則點(diǎn)到直線的距離等于,
所以在平行于且與距離等于的直線上.
設(shè)直線.
則由 得.………………………………………10分
.即.
由平行線間的距離公式,得 ,
解得或(舍去).
可求得或.…………………………………………13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知幾何體A﹣BCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,已知幾何體A﹣BCED的體積為16.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)將直角三角形△ABD繞斜邊AD旋轉(zhuǎn)一周,求該旋轉(zhuǎn)體的表面積.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,點(diǎn),曲線 ,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)在直角坐標(biāo)系中,求點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】在正三棱柱中, , ,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(I)求證: ;
(II)若點(diǎn)為上的點(diǎn),且滿足,若二面角的余弦值為,求實數(shù)的值.
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【題目】已知向量 =(sinx,cosx), =(sin(x﹣ ),sinx),函數(shù)f(x)=2 ,g(x)=f( ).
(1)求f(x)在[ ,π]上的最值,并求出相應(yīng)的x的值;
(2)計算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,討論g(x)在[t,t+2]上零點(diǎn)的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn).
(1) 求過三點(diǎn)的圓的方程,并指出圓心坐標(biāo)與圓的半徑;
(2)求過點(diǎn)與條件 (1) 的圓相切的直線方程.
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【題目】已知,設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的極值點(diǎn);
(2)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
(3)對任意恒成立時, 的最大值為1,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, , , 為中點(diǎn), 與交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面.
(Ⅱ)求證: 平面.
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得?請說明理由.
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【題目】三棱錐S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC= , SB= .
(1)證明:SC⊥BC;
(2)求三棱錐的體積VS﹣ABC
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