【題目】為了提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)，某校數(shù)學(xué)興趣活動小組指導(dǎo)老師給學(xué)生布置了一項(xiàng)探究任務(wù)：如圖，有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC，從中裁出等邊三角形紙片作為底面，從剩余梯形中裁出三個(gè)全等的矩形作為側(cè)面，圍成一個(gè)無蓋的三棱柱（不計(jì)損耗）．

（1）若三棱柱的側(cè)面積等于底面積，求此三棱柱的底面邊長；

（2）當(dāng)三棱柱的底面邊長為何值時(shí)，三棱柱的體積最大？

【答案】（1）18cm（2）18cm

【解析】

(1) 設(shè)三棱柱的底面邊長為,再根據(jù)三角形中的關(guān)系表達(dá)出底面積和與側(cè)面積的關(guān)系式再解方程即可.

(2)同(1)可知,再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可.

設(shè)三棱柱的底面邊長為,即,

則.

因?yàn)?/span>為等邊三角形,

所以三棱柱的高為.

（1）因?yàn)槿庵牡酌娣e為,

側(cè)面積為,

所以,

解得或（舍去）.

即三棱柱的底面邊長為18cm.

（2）三棱柱的體積.

因?yàn)?/span>,,

所以.

因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí),取到極大值,也是最大值,

.

即當(dāng)?shù)酌孢呴L為18cm時(shí),三棱柱的體積最大,為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為2的菱形，平面，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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A.B.C.D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系．

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，求的值．

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【題目】已知集合，從P中任取2個(gè)元素，分別記為a，b.

（1）若，隨機(jī)變量X表示ab被3除的余數(shù)，求的概率；

（2）若（且），隨機(jī)變量Y表示被5除的余數(shù)，求Y的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）若，求的值.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若為橢圓上任意-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，為等腰直角三角形，，，，則異面直線AB與所成角的余弦值為_______.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.

（1）若直線與圓有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)且與直線平行的直線交圓于兩點(diǎn)，求的值.

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