Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+$\frac{4}{3}$（a，b是實數(shù)），且f′（2）=0，f（-1）=0．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）當x∈[-1，t]時，求f（x）的最大值g（t）的表達式．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)f′（2）=0，f（-1）=0得到關于a，b的方程組，即可解出a，b的值；
（2）利用導數(shù)求出f（x）的單調區(qū)間，極值點，并通過解方程f（x）=$\frac{4}{3}$，得到特殊點（3，$\frac{4}{3}$），然后結合函數(shù)圖象，對t分類討論，分別求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²+2ax+b
∵f'（2）=0，f（-1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+4a+b=0}\\{-\frac{1}{3}+a-b+\frac{4}{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}$，f'（x）=x²-2x=x（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜0，或x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）單調遞增，在（0，2）單調遞減，
所以f（x）_極小值=f（2）=0，$f（x）_{極大值}=f（0）=\frac{4}{3}$
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=0$，得x=-1，或x=2；
由$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，得x=0，或x=3．
結合單調性及極值點，畫出圖象如下：

結合圖象，對t分類討論：
（1）-1＜t＜0時，f（x）在[-1，t]上單調遞增，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$；
（2）0≤t＜3時，$f（x）_{max}=f（0）=\frac{4}{3}$；
（3）t≥3時，$f（x）_{max}=f（t）=\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}$．
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{4}{3}，-1＜t＜0，或t＞3}\\{\frac{4}{3}，0≤t≤3}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查應用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)的極值，同時考查分類討論的思想方法，必須掌握數(shù)學中的這一重要思想方法在解決復雜問題中的應用，結合圖象準確分類是正確解題的關鍵．