【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等,拋物線的焦點(diǎn)為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),點(diǎn)A處的切線交x軸于點(diǎn)B,過A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)E,試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)y2=6x; (2) 菱形,證明見解析
【解析】
(1)由點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等,可得點(diǎn)P在線段OF的中垂線上,進(jìn)而可求p的值,即得拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方,設(shè)其坐標(biāo),由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義寫出點(diǎn)A處的切線方程,可得到點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而可寫出與的坐標(biāo),進(jìn)而得兩向量相等,再結(jié)合拋物線定義可得AF=AE,可得四邊形AEBF的形狀。
(1)由題意得點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于PO,
由拋物線的定義得點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為PF,
所以PO=PF,即點(diǎn)P在線段OF的中垂線上,
所以,p=3,
所以拋物線的方程為y2=6x.
(2)四邊形AEBF為菱形,理由如下:
由拋物線的對(duì)稱性,設(shè)點(diǎn)在x軸的上方,所以點(diǎn)A處切線的斜率為,
所以點(diǎn)A處切線的方程為y-y0=,
令上式中y=0,得x=-,
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為,
又,
所以
所以,所以FA∥BE,
又因?yàn)?/span>AE∥FB,故四邊形AEBF為平行四邊形,
再由拋物線的定義,得AF=AE,所以四邊形AEBF為菱形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若△ABC的周長為2(+1),且sin B+sin C=sin A,則a= ( )
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
根據(jù)正弦定理把轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)△ABC的周長,聯(lián)立方程組,可求出a的值.
根據(jù)正弦定理,可化為
∵△ABC的周長為,
∴聯(lián)立方程組,
解得a=2.
故選:B
【點(diǎn)睛】
(1)在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí),要靈活選擇正弦、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化,以達(dá)到求解的目的.
(2)求角的大小時(shí),在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后,還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大小,這點(diǎn)容易被忽視,解題時(shí)要注意.
【題型】單選題
【結(jié)束】
7
【題目】已知數(shù)列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}單調(diào)遞增,則k的取值范圍是( )
A. (-∞,2] B. (-∞,2) C. (-∞,3] D. (-∞,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說,年過半百的笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師,日久生情,彼此愛慕,其父國王知情后大怒,將笛卡爾流放回法國,并軟禁公主,笛卡爾回法國后染上黑死病,連連給公主寫信,死前最后一封信只有一個(gè)公式:國王不懂,將這封信交給了公主,公主用笛卡爾教她的坐標(biāo)知識(shí),畫出了這個(gè)圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意,登上了國王寶座后,派人去尋笛卡爾,其逝久矣(僅是一個(gè)傳說).心形線是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn),當(dāng)該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí),這個(gè)定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名.在極坐標(biāo)系中,方程表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在直線為軸,極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與相交于、、三點(diǎn),求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點(diǎn)為噴泉,圓心為的中點(diǎn),其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞.
(1)若當(dāng)時(shí),,求此時(shí)的值;
(2)設(shè),且.
(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;
(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為軸,焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中, 點(diǎn)的極坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍;
(3)試討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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