Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，，證明：，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由等差中項(xiàng)得到遞推關(guān)系式子，通過退位相減求出通項(xiàng)公式；

（2）由（1）即可表示新數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過放大再由指數(shù)式裂項(xiàng)求和，或用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．

（1）因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，即，

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，

所以是公比為2的等比數(shù)列，即，

即，由，得，

所以的通項(xiàng)公式．

（2）方法一（放縮法）：

因?yàn)?/span>，，所以，

當(dāng)時(shí)，

所以

，

當(dāng)時(shí)，，取到“”號(hào)，

綜上所述，，

方法二（數(shù)學(xué)歸納法）：

因?yàn)?/span>，，所以，

當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，原不等式成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即，

那么，當(dāng)時(shí)，左邊

，即時(shí)也成立，

由此可知，原不等式對(duì)于任意的均成立．