【題目】如圖，矩形中， ， ， 在邊上，且，將沿折到的位置，使得平面平面.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接交于點(diǎn)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可證得兩個直角三角形相似，由此證得，而，故平面，所以.（II）由（I）知平面，以為原點(diǎn)聯(lián)立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的方向量，計算兩個半平面所成角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，依題意得，所以 ，

所以，所以，所以，

即， ，又， ,平面.

所以平面.

又平面，所以.

（Ⅱ）因?yàn)槠矫?/span>平面，

由（Ⅰ）知， 平面，

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

在中，易得， ， ，

所以， ， ，

則， ，

設(shè)平面的法向量，則，即，解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為.

所以 ，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（a＞b＞0）過點(diǎn)E（，1），其左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)為F1，F2，其中F1（，0）．

（1）求橢圓C的方程：

（2）設(shè)M（x0，y0）為橢圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，MN⊥AB于點(diǎn)N，直線l：x0x+2y0y﹣4＝0，設(shè)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線與直線l交于點(diǎn)P，證明：直線BP經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面.

(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，求證:平面；

(2)求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購．其中共享單車既響應(yīng)綠色出行號召，節(jié)能減排，保護(hù)環(huán)境，又方便人們短距離出行，增強(qiáng)靈活性．某城市試投放3個品牌的共享單車分別為紅車、黃車、藍(lán)車，三種車的計費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每15分鐘（不足15分鐘按15分鐘計）1元，按每日累計時長結(jié)算費(fèi)用，例如某人某日共使用了24分鐘，系統(tǒng)計時為30分鐘．A同學(xué)統(tǒng)計了他1個月（按30天計）每天使用共享單車的時長如莖葉圖所示，不考慮每月自然因素和社會因素的影響，用頻率近似代替概率．設(shè)A同學(xué)每天消費(fèi)元．

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）各品牌為推廣用戶使用，推出APP注冊會員的優(yōu)惠活動：紅車月功能使用費(fèi)8元，每天消費(fèi)打5折；黃車月功能使用費(fèi)20元，每天前15分鐘免費(fèi)，之后消費(fèi)打8折；藍(lán)車月功能使用費(fèi)45元，每月使用22小時之內(nèi)免費(fèi)，超出部分按每15分鐘1元計費(fèi)．設(shè)分別為紅車，黃車，藍(lán)車的月消費(fèi)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，參考（1）的結(jié)果，A同學(xué)下個月選擇其中一個注冊會員，他選哪個費(fèi)用最低？

（3）該城市計劃3個品牌的共享單車共3000輛正式投入使用，為節(jié)約居民開支，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶一周的平均使用時長如下表：

時長

(0，15]

(15，30]

(30，45]

(45，60]

人數(shù)

16

45

34

5

在（2）的活動條件下，每個品牌各應(yīng)該投放多少輛？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】呼和浩特市地鐵一號線于2019年12月29日開始正式運(yùn)營有關(guān)部門通過價格聽證會，擬定地鐵票價后又進(jìn)行了一次調(diào)查.調(diào)查隨機(jī)抽查了50人，他們的月收入情況與對地鐵票價格態(tài)度如下表：

月收入（單位：百元）

認(rèn)為票價合理的人數(shù)

1

2

3

5

3

4

認(rèn)為票價偏高的人數(shù)

4

8

12

5

2

1

（1）若以區(qū)間的中點(diǎn)值作為月收入在該區(qū)間內(nèi)人的人均月收入求參與調(diào)查的人員中“認(rèn)為票價合理者”的月平均收入與“認(rèn)為票價偏高者”的月平均收入的差是多少（結(jié)果保留2位小數(shù)）；

（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表分析是否有的把握認(rèn)為“月收入以5500元為分界點(diǎn)對地鐵票價的態(tài)度有差異”

月收入不低于5500元人數(shù)

月收入低于5500元人數(shù)

合計

認(rèn)為票價偏高者

認(rèn)為票價合理者

合計

附：

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，，分別為弦，的中點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，，證明：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的長軸長為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過中心，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(diǎn)（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過直線y＝﹣1上的動點(diǎn)A（a，﹣1）作拋物線y＝x2的兩切線AP，AQ，P，Q為切點(diǎn).

（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

（2）求證：直線PQ過定點(diǎn).

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