Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相切.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若的面積為6，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）2x±3y﹣2＝0．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義即可得解；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則C（x2，﹣y2），由拋物線的定義可知，|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣1），將其與拋物線的方程聯(lián)立，消去y可得關(guān)于x的一元二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理；設(shè)直線m（AB）的傾斜角為α，則tanα＝k，且sin∠AFC＝|sin（π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，將其轉(zhuǎn)化為只含k的代數(shù)式，再利用正弦面積公式得，，結(jié)合韋達(dá)定理表達(dá)式，化簡(jiǎn)整理可得，從而解出k的值，進(jìn)而求得直線m的方程．

（1）由已知可得：圓心（4，4）到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線l的距離相等，即點(diǎn)（4，4）在拋物線E上，

∴16＝8p，解得p＝2．

∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x．

（2）由已知可得，直線m斜率存在，否則點(diǎn)C與點(diǎn)A重合．

設(shè)直線m的斜率為k（k≠0），則直線AB的方程為y＝k（x﹣1）．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0．

∴，x1x2＝1．

由對(duì)稱性可知，C（x2，﹣y2），∴|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．

設(shè)直線m（AB）的傾斜角為α，則tanα＝k，

∴，

∴．

由已知可得，解得．

∴直線m的方程為，即2x±3y﹣2＝0．