【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,左、右焦點分別在軸上,離心率為,在其上有一動點,到點距離的最小值是1.過作一個平行四邊形,頂點都在橢圓上,如圖所示.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)判斷能否為菱形,并說明理由.
(Ⅲ)當的面積取到最大值時,判斷的形狀,并求出其最大值.
【答案】(I);(II)不能,理由見解析;(III)矩形,且最大值為.
【解析】
試題分析:(I)依題意有,解得,所以橢圓方程為;(II)令直線的方程為,,聯立直線的方程和橢圓方程,利用根與系數關系,計算,此方程無實數解,故不成立,所以不存在菱形;(III)由題,而,由(2)根與系數關系可求得面積的表達式,再利用基本不等式計算得面積的最大值為,此時四邊形為矩形.
試題解析:
(Ⅰ)依題,令橢圓的方程為,
所以離心率,即.
令點的坐標為,所以,焦點,即
,(沒有此步,不扣分)
因為,所以當時,,
由題,結合上述可知,所以,
于是橢圓的方程為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,如圖,直線不能平行于軸,所以令直線的方程為,
聯立方程,,
得,
所以,.
若是菱形,則,即,于是有,
又,
所以有,
得到,可見沒有實數根,故不能是菱形.
(Ⅲ)由題,而,又
即,
由(Ⅱ)知.
所以,,
因為函數,在時,,
即得最大值為6,此時,也就是時,
這時直線軸,可以判斷是矩形.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】 “中國式過馬路”是網友對部分中國人集體闖紅燈現象的一種調侃,即“湊夠一撮人就可以走了,和紅綠燈無關.”出現這種現象是大家受法不責眾的“從眾”心理影響,從而不顧及交通安全.某校對全校學生過馬路方式進行調查,在所有參與調查的人中,“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”人數如表所示:
跟從別人闖紅燈 | 從不闖紅燈 | 帶頭闖紅燈 | |
男生 | 800 | 450 | 200 |
女生 | 100 | 150 | 300 |
(Ⅰ)在所有參與調查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知“跟從別人闖紅燈”的人抽取了45 人,求n的值;
(Ⅱ)在“帶頭闖紅燈”的人中,將男生的200人編號為1,2,…,200;將女生的300人編號為201,202,…,500,用系統抽樣的方法抽取4人參加“文明交通”宣傳活動,若抽取的第一個人的編號為100,把抽取的4人看成一個總體,從這4人中任選取2人,求這兩人均是女生的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數為奇
函數,且相鄰兩對稱軸間的距離為.
(Ⅰ)當時,求的單調遞減區(qū)間;
(Ⅱ)將函數的圖象沿軸方向向右平移個單位長度,再把橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),
得到函數的圖象.當時,求函數的值域.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣,利用簡單隨機抽樣的方法在全校一年級學生中進行了抽樣調查,調查結果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學生 | 60 | 20 | 80 |
北方學生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
(1)根據表中數據,問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”;
(2)根據(1)的結論,你能否提出更好的調查方法來了解該校大學新生的飲食習慣,說明理由.
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【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再從勻速步行到,假設纜車勻速直線運動的速度為,山路長為1260,經測量,.
(1)求索道的長;
(2)問:乙出發(fā)多少后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過,乙步行的速度應控制在什么范圍內?
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