【題目】在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可得判定②正確；由三角形的面積公式，可求得的面積為的范圍，可判定③錯(cuò)誤；由三角形的面積公式，得到的范圍，可判定④正確.

連接，設(shè)平面與對(duì)角線交于，

由，可得平面，即平面，

所以存在點(diǎn)，使得平面平面，所以①正確；

由，

利用平面與平面平行的判定，可得證得平面平面，

設(shè)平面與交于，可得平面，所以②正確；

連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作,

在正方體中，平面，所以，

所以為異面直線與的公垂線，

根據(jù)，所以，即，

所以的最小面積為.

所以若的面積為，則，所以③不正確；

再點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，從減少趨向于0，即，

從增大到趨向于，即，在此過程中，必存在某個(gè)點(diǎn)使得，

所以④是正確的.

綜上可得①②④是正確的.

故選：C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)科站技術(shù)員為了解某品種樹苗的生長情況，在該批樹苗中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，測(cè)量樹苗高度（單位：cm）．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，高度均在區(qū)間[20，50]內(nèi)，將其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中高度不低于40cm的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗．

（1）已知所抽取的這100棵樹苗來自于甲、乙兩個(gè)地區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表所示，將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與地區(qū)有關(guān)？

（2）用樣本估計(jì)總體的方式，從這批樹苗中隨機(jī)抽取4棵，期中優(yōu)質(zhì)樹苗的棵數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

甲地區(qū)

乙地區(qū)

合計(jì)

優(yōu)質(zhì)樹苗

5

非優(yōu)質(zhì)樹苗

25

合計(jì)

附：K2＝，其中n＝a+b+c+d

P（K2≥k0）

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.

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【題目】如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的菱形，，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，，點(diǎn)P在平面ABCD的射影為O，F(xiàn)為棱PA上一點(diǎn)．

1求證：平面平面BCF；

2若平面PDE，，求四棱錐的體積．

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【題目】“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個(gè)大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設(shè)中邊所對(duì)的角為，中邊所對(duì)的角為，經(jīng)測(cè)量已知，.

（1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個(gè)定值，請(qǐng)你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；

（2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，，分別為，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，，求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】已知函數(shù).

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（2）若不等式恒成立，求k的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，不等式成立.

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【題目】某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨(dú)立，且出現(xiàn)故障的概率為.

（1）求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；

（2）為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)決定招聘名維修工人及時(shí)對(duì)出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維修.已知每名維修工人每月只有及時(shí)維修1條生產(chǎn)線的能力，且每月固定工資為1萬元.此外，統(tǒng)計(jì)表明，每月在不出故障的情況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時(shí)維修，該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤，以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（實(shí)際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤-維修工人工資）

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