【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形,DE=2BF=2,平面BFED⊥平面ABCD. (Ⅰ)求證:AD⊥平面BFED;
(Ⅱ)在線段EF上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 .若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,
∴故 AB=2,
∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3,
∴AB2=AD2+BD2
∴BD⊥AD,
∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,
∴AD⊥平面BFED.
(Ⅱ)∵AD⊥平面BFED,∴AD⊥DE,
以D為原點(diǎn),分別以DA,DE,DE為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, ,0),P(0,λ, ),
=(﹣1, ,0), =

取平面EAD的一個(gè)法向量為 =(0,1,0),
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),
=0, =0得: ,取y=1,可得 =( ).
∵二面角A﹣PD﹣C為銳二面角,平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為
∴cos< = = = ,
解得λ= ,即P為線段EF的3等分點(diǎn)靠近點(diǎn)E的位置
【解析】(Ⅰ)推出AB=2,求解AB2=AD2+BD2 , 證明BD⊥AD,然后證明AD⊥平面BFED.(Ⅱ)以D為原點(diǎn),分別以DA,DE,DE為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面EAD的一個(gè)法向量,平面PAB的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積,轉(zhuǎn)化求解即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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