【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,E,M分別是AD,PD的中點(diǎn),PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.
(1)求證:PB∥平面MAC.
(2)求證:平面MAC⊥平面PBE.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】分析:(1)利用三角形的中位線性質(zhì)得到線線平行,再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明;(2)利用等邊三角形的“三線合一”證得線線垂直,再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直,再利用線面垂直和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明.
詳解:(1)連接BD交線段AC于點(diǎn)N,連接MN,則N為線段BD中點(diǎn).
∵點(diǎn)M為線段PD中點(diǎn),∴MN∥PB.又∵MN平面MAC,PB平面MAC,
∴PB∥平面MAC.
(2)∵PA=PD=AD=2,∴三角形PAD為等邊三角形.
又∵E為AD中點(diǎn),∴PE⊥AD.又∵PE⊥BE,BE∩AD=E,
∴PE⊥平面ABCD.又∵AC平面ABCD,∴AC⊥PE.
∵AD=2,AB=,四邊形ABCD是矩形,E是AD中點(diǎn),
∴△ABE∽△DAC,∴∠ABE=∠DAC,∴AC⊥BE.
∵PE∩BE=E,∴AC⊥平面PBE.∵AC平面MAC,
∴平面MAC⊥平面PBE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形,DE=2BF=2,平面BFED⊥平面ABCD. (Ⅰ)求證:AD⊥平面BFED;
(Ⅱ)在線段EF上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 .若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足 =1,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值為( )
A.4
B.8
C.12
D.18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,棱長為1(單位:)的正方體木塊經(jīng)過適當(dāng)切割,得到幾何體,已知幾何體由兩個底面相同的正四棱錐組成,底面平行于正方體的下底面,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則幾何體體積的取值范圍是________(單位:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[0, ],求函數(shù)f(x)的最值及相應(yīng)x的取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于序列A0:a0 , a1 , a2 , …,an(n∈N*),實(shí)施變換T得序列A1:a1+a2 , a2+a3 , …,an﹣1+an , 記作A1=T(A0):對A1繼續(xù)實(shí)施變換T得序列A2=T(A1)=T(T(A0)),記作A2=T2(A0);…;An﹣1=Tn﹣1(A0).最后得到的序列An﹣1只有一個數(shù),記作S(A0). (Ⅰ)若序列A0為1,2,3,求S(A0);
(Ⅱ)若序列A0為1,2,…,n,求S(A0);
(Ⅲ)若序列A和B完全一樣,則稱序列A與B相等,記作A=B,若序列B為序列A0:1,2,…,n的一個排列,請問:B=A0是S(B)=S(A0)的什么條件?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x﹣a|,x∈R
(1)若a<0,且log2f(x)>2對任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a>0,且關(guān)于x的不等式f(x)< x有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列中,公差,其前項(xiàng)和為,且滿足:.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)通過公式構(gòu)造一個新的數(shù)列.若也是等差數(shù)列,求非零常數(shù);
(Ⅲ)求的最大值.
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