Question

【題目】已知函數(shù).（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)在上的最值；

（2）當(dāng)時，證明：，其中（表示中較小的數(shù).）

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意知，令其導(dǎo)數(shù)為0，解得，從而可探究在的單調(diào)性，可直接確定其最小值，通過作差法可比較，的大小，從而可求最大值.

（2）分成，兩種情況，通過對所證不等式進(jìn)行變形.第一種情況下等價于證明，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)法可證明在上單調(diào)遞增，由 ，所以；第二種情況下等價于證明，由（1）知，，及，，所以，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)可證明在上單調(diào)遞增，由，所以，從而可證明.

解：（1）當(dāng)時，，，則，

令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

從而在上的最小值為.因為，，

，

所以，從而在上的最大值為.

（2）①當(dāng)，即時，.

設(shè)，則.

令，則，

因為，所以，因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立.從而在上單調(diào)遞增.

注意到，所以，從而在上單調(diào)遞增.

注意到，所以，原不等式成立.

②當(dāng)，即時，.

，

由（1）知，，及，，所以.

設(shè)，，則，

所以在上單調(diào)遞增.注意到，所以，原不等式成立.

綜上，當(dāng)時，，.