Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：AE⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)底面ABCD為矩形，判斷出AB∥CD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理推斷出 AB∥平面PCD．
（Ⅱ）根據(jù)PA=AD，E為PD中點(diǎn)，推斷出AE⊥PD，進(jìn)而根據(jù)PA⊥平面ABCD，推斷出PA⊥CD，同時(shí)底面ABCD為矩形，推斷出CD⊥AD．進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理知CD⊥平面PAD．繼而可知 CD⊥AE，則AE⊥平面PCD可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，
所以AB∥CD．
又因?yàn)?nbsp;AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以 AB∥平面PCD．
（Ⅱ）因?yàn)镻A=AD，E為PD中點(diǎn)，
所以 AE⊥PD，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以 PA⊥CD．
又底面ABCD為矩形，
所以CD⊥AD．
所以CD⊥平面PAD．
所以 CD⊥AE．
又AE⊥PD，PD∩CD=D
所以 AE⊥平面PCD．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和邏輯推理能力．