Question

（1）已知：a，b，x均是正數(shù)，且a＜b，求證：

a+x

b+x

＞

a

b

；
（2）a，b，c是△ABC三邊，證明：

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用不等式的基本性質(zhì)，推出

a

b

＜1＜

a+x

b+x

，得到證明的結(jié)果；
（2）先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及不等式的性質(zhì)得出：

a

b+c

＜

a+a

b+c+a

=

2a

a+b+c

，同理

b

a+c

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，根據(jù)不等式的傳遞性即可證明．

解答： 證明：（1）∵a＜b，∴

a

b

＜1，并且0＜a+x＜b+x，∴1＜

a+x

b+x

，
∴

a

b

＜1＜

a+x

b+x

，
即：

a+x

b+x

＞

a

b

．
（2）由“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，

a

b+c

，

b

a+c

，

c

a+b

，是正分?jǐn)?shù)，
再利用（1）的結(jié)論可知：

a

b+c

＜

a+a

b+c+a

=

2a

a+b+c

，
同理

b

a+c

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，
根據(jù)不等式的可加性可知

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

=

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2．
∴a，b，c是△ABC三邊，有

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

＜2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系及不等式的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是運(yùn)用不等式的傳遞性．