如圖，斜率為1的直線過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A,B，M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若｜AB｜＝8，求拋物線的方程；
（2）求的最大值

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間距離公式、韋達(dá)定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.第一問(wèn)，由已知條件得到直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，求出兩根之和，由拋物線的定義得|AB|的值，從而求出P的值；第二問(wèn)，直線與拋物線聯(lián)立消去x，解出y，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到的取值范圍，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出距離，由于點(diǎn)在直線上方，所以，再化簡(jiǎn)距離的表達(dá)式，通過(guò)配方求最值，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到的面積.
試題解析：(1)由條件知lAB：，則，消去y得，則x1＋x2＝3p，由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
又因?yàn)閨AB|＝8，即p＝2，則拋物線的方程為.(5分)
(2)由(1)知|AB|＝4p，且lAB：，
，消x得：，即，
設(shè)，則，
M到AB的距離，因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，.
則.(12分)
考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)；2.點(diǎn)到直線的距離；3.兩點(diǎn)間距離公式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的方程為＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．

(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若＝m＋n，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于橢圓＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形MNPQ的頂點(diǎn)M、N在橢圓上，頂點(diǎn)P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．
 
(1)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且與y軸交于E、F兩點(diǎn)，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2.
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2－k是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（1）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為；
（2）點(diǎn)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上，其中，直線的方程為，直線的方程為．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率是，它被直線截得的弦長(zhǎng)是，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)是2．

（1）求a，b的值；
（2）設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線F1A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.

(1)求實(shí)數(shù)b的值;
(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案