【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>, 當(dāng)時(shí),, 則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

根據(jù)f(x)的對(duì)稱性和奇偶性可知f(x)在[﹣]上共有3條對(duì)稱軸,x=0,x=1,x=2,根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性可知y=|cos(πx)|也關(guān)于x=0,x=1,x=2對(duì)稱,故而g(x)在[﹣,]上3條對(duì)稱軸,根據(jù)f(x)和y=|cos(πx)|[0,1]上的函數(shù)圖象,判斷g(x)在[﹣]上的零點(diǎn)分布情況,利用函數(shù)的對(duì)稱性得出零點(diǎn)之和.

∵f(x)=f(2﹣x),∴f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,

∵f(﹣x)=f(x),∴f(x)根與x=0對(duì)稱,

∵f(x)=f(2﹣x)=f(x﹣2),∴f(x)=f(x+2),

f(x)是以2為周期的函數(shù),

f(x)在[﹣,]上共有3條對(duì)稱軸,分別為x=0,x=1,x=2,

又y=|cos(πx)關(guān)于x=0,x=1,x=2對(duì)稱,

x=0,x=1,x=2為g(x)的對(duì)稱軸.

作出y=|cos(πx)|和y=x3[0,1]上的函數(shù)圖象如圖所示:

由圖象可知g(x)在(0,)和(,1)上各有1個(gè)零點(diǎn).

又g(1)=0,g(x)在[﹣,]上共有7個(gè)零點(diǎn),

設(shè)這7個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為x1,x2,x3,…x6,x7

則x1,x2關(guān)于x=0對(duì)稱,x3,x5關(guān)于x=1對(duì)稱,x4=1,x6,x7關(guān)于x=2對(duì)稱.

∴x1+x2=0,x3+x5=2,x6+x7=4,

∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7.

故選:A.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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,求證:

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(Ⅰ)求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

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