【題目】如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,M為PC的中點.
(1)求證:PC⊥AD.
(2)在棱PB上是否存在一點Q,使得A,Q,M,D四點共面?若存在,指出點Q的位置并證明;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)取AD的中點O,連接OP,OC,AC,由線面垂直判定定理證明AD⊥平面POC,繼而得到PC⊥AD
(2)取棱PB的中點Q,連接QM,證明QM∥AD,從而A,Q,M,D四點共面
(1)證明:如圖,取AD的中點O,連接OP,OC,AC.
依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形.
所以O(shè)C⊥AD,OP⊥AD.
又OC∩OP=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD⊥平面POC.
又PC平面POC,所以PC⊥AD.
(2)解:當點Q為棱PB的中點時,A,Q,M,D四點共面.
證明如下:
取棱PB的中點Q,連接QM.
因為M為PC的中點,所以QM∥BC.
在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD.
所以A,Q,M,D四點共面.
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【題目】 設(shè)命題p:函數(shù)y=在定義域上為減函數(shù);命題q:a,b∈(0,+∞),當a+b=1時,+=3.以下說法正確的是( )
A. p∨q為真B. p∧q為真
C. p真q假D. p,q均假
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【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為, , 當時,, 則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱AB,CC1的中點,△MB1P的頂點P在棱CC1與棱C1D1上運動,有以下四個命題:
①平面MB1P⊥ND1;
②平面MB1P⊥平面ND1A1;
③△MB1P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值;
④△MB1P在側(cè)面DD1C1C上的射影圖形是三角形.
其中正確的命題序號是( )
A. ①B. ②③
C. ①③D. ②④
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【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,且AB=4,點D為線段AB上一點,且,點C為圓O上一點,且.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=DB.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求直線PC與平面PAB所成的角.
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【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(1)若直線過點,并且與曲線相切,求直線的方程;
(2)設(shè)函數(shù)在上有且只有一個零點,求的取值范圍。(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
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【題目】已知拋物線的方程為,直線過定點P(2,0),斜率為。當為何值時,直線與拋物線:
(1)只有一個公共點;
(2)有兩個公共點;
(3)沒有公共點。
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