Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù),的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)，得到函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，求出F（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x）和g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（Ⅱ） 解：令，問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)為減函數(shù)，注意到， ，

所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 或時(shí)， 時(shí)，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，

，所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 或時(shí)， 時(shí)，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，意到，

所以，而，

所以有唯一零點(diǎn).

綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).